DÎROKA LOGARÎTMA XWEZAYÎ

Çavkanî: J. J. O'Connor û E. F. Robertson

Wergêr: Zagrosê Hajo

Gelek alozî di dîroka pêşveçûna jimara e de hene û nivîsandina vê dîrokê barekî giran e. Jimara e, di meydana bîrkariyê (mathematics) de jimareke nû ye, ew bi jimara π re tê berhevkirin.

Jimara e bêdeng derbasî nav bîrkariyê bûye. Sala 1618 ew di nav karên Napier de yên li ser logarîtmê derbas dibe. Napier gelek jimaran di tablyoyeke logaretma xwezayî de dinivîse, lê wê demê ew ti navî lê nake û ti kes zêde pêça xwe nadiyê. Piştî çend salan, di sala 1624 dîse jimara e di lîteratûra bîrkariyê de serî dihilde, lê ew jî bê deng derbas dibe. Di wê salê de Briggs nêzîkirina jimarî (numerical approximation) ya logarîtma e û ya xwedî binke 10 hesab dike, lê di karên xwe de navê jimara e, weke jimareke taybet nabêje û wê bê nav dihêle.

Piştre kengî careke din jimara e hatiye meydanê ne pir zelal e.  Sala 1647 Saint-Vincent vê jimarê di hesabkirina rûberê (area) di bin hîperbola lakêşeyî (rectangular hyperbola) de bi kar têne. Gelo wî pêwendiya jimara e bi logarîtman re nas kir yan ne, ev pirseke vekirî ye, bê bersiv e, lê bersiv çi be jî wî navê jimara e yekser û vekirî negotiye. Lê bêgoman sala 1661 Huygens yê pêşî bû ko pêwendiya di nav hîperbola lakêşeyî û logarîtmê de naskiriye. Wî hişkere û vekirî gotiye ko peywendî di nav hîperbola lakêşeyî yx = 1 û logarîtmê de heye. Ji xwe jimara e yeke wilo ye, ko rûberê di bin hîperbola lakêşeyî ji 1 ta e dike 1. Ev xislet (property) e ya ko jimara e dike binkeya logarîtma xwezayî, lê di wan deman de ev mijar hê di serê bîrkarîzanan (matematîkzan, mathematician) de zelal nebûbû, tevlî jî ew hêdî hêdî nêzîkî têgehiştina vê pirsê dibûn.

Huygens di sala 1661 de gaveke dûrtir avêtibû.  Wî pênaseyek bi navê ”logarîtm” dabû nexşeyekê (curve), lê bi zimanê îro em jê re dibêjin nexşeya cayî (exponential curve), ya xwedî forma y = ka^x. Li cihekî din Huygens logarîtma binke 10 ta bi 17 xaneyan ji bo jimara e hesab dike, di karê wî de ev weke hesabkirina neguhorekê (constant) tê, lê ew vê weke pênaseya jimara e bi nav nake.

Karên din jî li ser logarîtmê têne kirin, di wan karan de jî gelekî pêça xwe nadin jimara e, lê ew kar jî dibine alîkarên pêşdexistina logarîtman. 

Di nav sala 1668 Nicolaus  Mercator lêkolîna xwe ya bi nave Logarithmotechnia diweşêne û tê de êdî têgeha (term) ”Logarîtma xwezayî” (natural logarithm) bi kar têne. Jimara e her di nav goşeyeke teng de dimêne.

Mirov matmayî dimêne, dema dibîne ko karê bîrkarîzanan li ser logarîtman hevqasî nêzîkî pênasîneya jimara e kiribû jî, lê vedîtina jimara e ne ji encama wan karan pêk hat. Giringiya jimara e di riya lêkolînên li ser kêşeyên deyndan û deynkirinê de, di vegerandina deynan û dabeşkirina wan li ser demên diyarkirî hate dîtin. Di wan heyaman de pirsa dabeşkirina deynan û deynkirinê û vegerandina deynan di heyv û salan diyarkirî de, û bi taybetî çaxê fayiz jî dihate standin û dikete ser hev (compounding of interest) hingî hesabkirin dibû kêşeyeke aloz. Sala 1683 Jacob Bernoulli di lêkonên xwe de xwest çareyekê ji vê babetî re bibîne. Wî xwest sînorê (1 + ¹/n)ⁿ nas bike dema ko n ber bi nemayê ∞ (infinity) ve dice, di pirsa deynan de n demeke peryodî de, dikere roj, heyv yan sal be. Wî dîtaneya duradeyî ya piştrast (binomial theorem) bi kar anî û jê derket ko sînorê hevkêşeyê di nav 2 û 3 de ye. Tê behwerkirin ko ev encam nêzîkayiya pêşî ye ber bi vedîtina jimara e. Eger em vê weke pênaseya jimara e bipejirênin, êdî ew dibe cara pêşî ko ev jimar bi riya prosesa sînorkirinê tê naskirin. Bêgoman haya Jacob Bernoulli ji pêwendiya di nav karê wî û logarîtmê de nebû.

Me li jor got, ko di despêkê de, dema kar li ser logarîtmê dihate kirin hizra pêwendiyên di nav logarîtm û tiwanên (exponent) hevkêşeyan de li cem bîrkarîzanan peyde nedibû. Helbet ji hevkêşeya x = a^t dertê ko t = log x, li vir ji xwe binkeye log a ye, lê hizra vê pêwendiyê encama têgehiştinên nûtir e. Li vir bi rastî di hizra me de log weke hevkêşeyekê ye, lê li cem lêkolînvanên berê log jimareke tisî bû, wê alîkariyê di jimarkirnê de dikir. Dibe ko Jacob Bernoulli mirovê pêşî be yê têgehişt ko hevkêşeya log bervajiya hevkêşeya pileyî (exponential function) ye. Ji aliyekî din ve dibe ko kesê ko cara pêşî girêdan di nav logarîtm û  tiwanê de dîtibe James Gregory be. Bêgoman wî di sala 1684 de pêwendiya di nav logarîtm û  tiwanê de naskir, lê dibe jî ko ew ne yê pêşî be.

Li gor tiştê em dizanin, jimara e weke jimareke serbixwe cara pêşî sala 1690 hatiye xuyakirin. Di wê salê de Leibniz nameyekê ji Huygens re dinivîse tê de ew li ser jimara b dinivîse. Îro em jê re dibêjin jimara e, lê bi kîmayî em dizanin ko hê ji hingî ve jimara e hatibû naskirin û navek lê hatibû kirin, erê, ew di bin navekî din de bû.

Dibe ko niha xwendevan bipirse, û pirs jî di cihê xwe de ye; erê, me çima ev gotara li ser dîroka jimara e ne bi roja ko ew tê de hatiye vedîtin û naskirin, dest pê kiriye. Sedem ew e, ko di wê demê de ti kes hê bi ser pênaseya jimara e ve nebûbû û haya wan ji vê pirsê nebû. Lê piştî ko pênaseya jimara e hate danîn, êdî hêdî hêdî hate naskirin û têgehiştin ko gotar û berhemên berê li ser vê jimarê bûn. Bi gotineke din dîroka logarîtmê bû beşekî têgehiştina jimara e.

Me li jor got, ko ji ber logarîtm ne weke hevkêşeyê dihate dîtin, kêşe derdiketin. Lê di cihê xwe de ye jî ko bête gotin, ko hê ji sala 1697 ve Johann Bernoullihin jimarkarî li ser hevkêşeya pileyî kirine û ew di Principia calculi exponentialium seu percurrentium weşandine. Di vê weşanê de jimartina rêzên pileyî (exponential series) yên rengereng derbas dibe. Jimarkarî di karên wî de bi alîkariya têgeha (term) tewawkariyê (integration) pêk hatine û wî gelek encamên bi dest xistine.

Gelek ji vê nivîsa me li gor Euler in, ji xwe ne tiştekî nû ye em bêjim ko ew xwediyê rûmeta belavkirin û bikaranîna vê jimarê ye. 

Hin caran peyvên pûç û ne li rê hatine gotin, dibêjin, ko Euler tîpa e bi kar aniye ji ber ko ew tîpa pêşî ya navê wî ye. 

Bê goman ne ji ber ko ew destpêka bêjeya "exponential" e jî, lê dibe ji ber ko e tîpa dengadar e, ya ko yekser li pey tîba dengar a tê, ji xwe wî di destpêkê de tîpa a di berhemên xwe de bi kar tanî. 

Bila sedema bikaranîna e çi be jî, cara pêşî sala 1731 di nameya Euler ji Goldbach re jimara e derbas dibe. Salên peyre wî gelek vedîtinên din jî kirine, ew tev bi jimara e ve girêdayî bûn, 

lê sala di 1748 de lêkolîna xwe Introductio in Analysin infinitorum weşand û tê de wî bi her awayî hizir û sûdên li derdora jimara e rave kirin. Wî diyar kir ko: 

e = 1 + ¹/_1! + ¹/_2! + ¹/_3! + ...

û diyar kir ko jimara e sînorê hevkêşeya (1 + ¹/_n)ⁿ ye dema ko n di hevkêşeyê de bêsînor mezin dibe û ber bi nemayê +∞ ve diçe. Euler ta 18 xaneyên dehyekî (decimal) nêzîkiya jimara e hesab kir, ew jî ev bû:  

e = 2.718281828459045235

Euler negot ev jimar ji kû bi dest xistiye. Xuya ye ko wî bi xwe mezinaya e jimartiye, lê nexuya ye wî çawa ew jimartiye. Bi rastî eger mirov ta 20 endamên rêza 1 + ¹/_1! + ¹/_2! + ¹/_3! + ... hesab bike dê jimarek nêzîkî jimara ko Euler daye bi dest bixe. Di karê Euler de gelek encamên balkêş derbas dibin, wek nimûne pêwendiya di nav hevkêşeya sînus (sine) û kosînus (cosine) de û di nav wan û hevkêşeya radeyî ya awêteyî (complex exponential function) de, li vir Euler bi alîkariya şêwiga (formula) Moivre encaman der têne.

Balkêş e, ko Euler şêweyê dirêjayiya berdewamkirina kerta (continued fraction expansion) jimara e daye. Ew bi tayebetî vê dide: 

û vê:

Euler ti belge (proof) neanîne ka ev şêweyên kertî (fractional) yên bêdawî berdewam dikin (di rastiyê de jî ew berdewam kin), çawa bi dest xistine, lê wî zanîbû ko eger belgeyeke weha peyde bibe jî, ew belge dê biçespêne ko jimara e jimareke irasyonal (narêjekî; irrational) e. Ji ber ko, eger berdewamiya kerta (e - 1)/2, li gor ko di şêweyê pêşî de (li jor binere), ji jimareke piçûk ya radedaran (terms) pêkhatibe, 6, 10, 14, 18, 22, 26, ... (her carekê 4 lê zêde dibe), hingî ti caran dawî li (e - 1)/2  nayê û ji ber vê yekê ye jimara e nikare bikeve nav jimarên rêjekî (rational) de. Li vi mirov dibîne ko ev hewldana pêşî bû ji bo bête diyarkirin ko jimara e nejimareke rasyonal e.

Bengîniya ko mirov diajot, da hê bêhtir xaneyên dihyekî yên jimara π hesab bike, ew bi xwe bû jî ya ko dikir mirov awayekî nebînayî xaneyên dihyekî yên jimara e jî hesab bike. Mirovên bi vê pirsê re mijûl dibûn gelek bûn, lê yê sala 1854 gelekî pê de çûbû Shanks bû. Hêjayî gotinê ye ko kelgermiya Shanks ji jimara e re ji ya jimara π mezntir bû. Glaisher belge anîn ko her 137 xaneyên pêşî yên Shanks ji bo jimara e hesbkirine durist in, lê Shanks piştre yek şaşîtî kiriye. Glaisher ew şaşîtî rast kir û pê de çû ta ko geha xaneya 205. Îro em dizanin, ko eger bi rastî mirov bixwaze bigehe xaneya 200, pêwistî bi hesabkirina 120 radedarên hevkêşeya 1 + ¹/_1! + ¹/_2! + ¹/_3! + .... heye.

Wêneyekî Benjamîn Peirce heye, ew ji sala 1864 ye. Peirce li ber depreşê (blackboard) rawestaye û diaxive, li ser depreşê ev hevkêşe nivîsandiye  i^-i = √(e^π). Û wek ko ew ji şagirtên xwe re bibêje:

Rêzdarno, ti zaniyarî li cem me nînin ka wateya vê hevkêşeyê çi ye, lê bêgoman tiştekî pir girinig di xwe de dihêwirêne.

Piraniya xelkê dipejirênin ko Euler e, yê diyarkiriy ko e jimareke irasyonal e. Lê bêgoman Hermite bû yê sala 1873 belge anîn (proved) ko e ne jimareke cebrî (algebraic) ye. Û hêjî pirseke vekirî ye, ka gelo e^e jî ceberî ye yan na. Ev yek hêjî bê belge ye û bîrkarîzanên ji dil behwer bikin ko e^e ceberî ye, nînin! Tiştê em dizanin, şîkara (solution) ko bîrkarîzanan herî baş ya nêzîkbûne ev e: e^e, e² û e yan jî bi kêmayî yek ji wan jimareke rasteqîne ye û cihê wê li ser xêza jimaran heye. Lê pênase ji bo wan, bi alîkariya hevkêşeyên sînordar, peydenebûye. Ew jimar transendental (transcendental) in.

Hesabkirina xaneyên dihyekî yên jimara e nerawestaye. Sala 1884 Brooman 346 xane hesab kirin. Brooman dît ko ta xaneya 187 hesabê wî û yê Shanks li hev dikin, lê piştre ex ji hev cê dibin. Sala 1887 Adams logarîtma jimara e ya binke 10 ta xaneya 272 hesab kir. Kesê bixwaze 10 000 xaneheyên dihyekî yên jimara e bibîne dikare here vir: www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e_10000.html

---

* Sûd ji termînoljiya pirtûkên bîrkariyê yên dibistanên Başûrê Kurdistanê hatiye kirin, nemaze: “Bîrkarî bo polî sêyemî nawendî” û  “Bîrkarî bo polî şeşemî zanistî”