Välkommen till Fagers formelsamling. Jag hoppas att följande sidor kommer till flitig användning, för ni underhåller eller förbättrar väl era matematikkunskaper kontinuerligt?

Härledningar till nedanstående formler kan ni finna i gymnasieskolans matematikböcker. Studera dessa noga så ni verkligen förstår vad ni gör.

För rätvinkliga trianglar gäller:

Sidorna = a, b och c. De mot respektive a, b och c stående vinklarna är: A, B och C.

Arean = T

Sinussatsen:

Cosinussatsen:

Areasatsen:

En yngling vars hemvist var Kumla
med log - lagar brukade fumla.
"log a plus log b
log ab de é",
han numera alltid hörs mumla.

(Bengt Klefsjö och Andrejs Dunkels, Mot bättre vetande i matematik, Studentlitteratur).

Multiplikation: log (ab) = log a + log b

Derivatan säger oss hur snabbt funktionsvärdet ändras i exakt en viss punkt. Man bestämmer lutningen på tangenten till en kurva (tangentens k-värde) för att definiera tillväxthastigheten.

Om man deriverar derivatan kan man bestämma om en funktion (y) har en minimi- eller maximipunkt.

Om derivatan (y') av en funktion är 0 och andraderivatan (y'') är < 0 så har (y) en maximipunkt. Om (y') är 0 och (y'') är > 0 så har (y) en minimipunkt.

Om man deriverar en funktion (y) flera gånger brukar man ange följande derivator på följande sätt: y, y', y'', y'''...eller

Primitiva funktioner kan sägas vara derivatan baklänges. Man utgår från en derivata och bestämmer den ursprungliga funktionen. Antag att f(x) är en given funktion. En funktion F(x) vars derivata är f(x) kallas för en primitiv funktion till f(x). F(x) + C är en primitiv funktion där C är en godtycklig konstant och anger samtliga primitiva funktioner till f(x). Konstanter försvinner ju när man deriverar. För att ange en speciell primitiv funktion måste man ange värdet på konstanten C. OBS!! Kontrollera att F'(x) = f(x).

Primitiva funktioner av exponentialfunktioner fås genom att dividera med exponentens koefficient utan att exponenten ändras.

Det är viktigt att behärska omvandlingen från en vanlig funktion till en primitiv funktion och tvärtom. När man beräknar areor med hjälp av integraler är nämligen, A(x), en primitiv funktion till f(x). Men andra ord: A'(x) = f(x).

När man ska beräkna en enkel integral går man tillväga på följande sätt: Börja med att bestämma den primitiva funktionen. Sätt in gränserna (i detta fall 1 och 0). Beräkna sedan integralen.

Om man har två funktioner, f(x) och g(x), och ska beräkna arean emellan dessa börjar man med att beräkna värdet av den översta funktionen, i detta fall f(x), och subtraherar sedan med den lägre funktionen, g(x).

Vad har ekvationen för lösning? För att klara sådana ekvationer använder man sig av imaginära (overkliga) tal.

, ,

Ordet komplext betyder sammansatt och får därmed betydelsen att ett komplext tal är sammansatt av två reella tal, a och b. När man löser andragradsekvationer av ett komplext tal arbetar man med uttrycket a + bi, där a och b är reella tal.

Beteckningen z = a + bi definieras på följande sätt: z är beteckningen för ett komplext tal, a är realdelen och b är imaginärdelen av det komplexa talet. Re z = a, Im z = b.

Man kan skriva ett komplext tal (z = 2+4i) i ett rätvinkligt kordinatsystem där talet motsvaras av punkten (2,4). Re z motsvaras av x - axeln i ett kordinatsystem och kallas den reella axeln. Im z motsvaras av y - axeln och kallas den imaginära axeln. Kordinatsystemet kallas för det komplexa talplanet.

Om man drar en vektor från origo till en punkt i det komplexa talplanet, t.ex. (2,4) och beräknar dess längd får man fram absolutbeloppet av z, betecknat . För z = a+bi gäller att .

Om z = a+bi så är a-bi konjungatet till z och brukar betecknas . Konjungatet används främst då man dividerar komplexa tal. Om man förlänger med konjungatet till nämnaren får man som resultat en nämnare som är reell.

Addition och subtraktion av komplexa tal sker med vanliga parantesregler. När man summerar behandlas realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig så att summan blir ett nytt komplext tal. Vid multiplikation av komplexa tal gäller också vanliga regler, dock med tillägget att . OBS!! När man multiplicerar ett komplext tal med dess konjungat blir produkten ett reellt tal, .

En vektor (r) som bildar vinkeln (v) med den positiva reella axeln (x-axeln) gäller att: , , där a = Re z och b = Im z. Detta ger att och skrivsättet kallas polär form. Vinkeln v kallas för argumentet av z och skrivs ofta arg z.

När man multiplicerar komplexa tal i polär form ska man multiplicera absolutbeloppen och addera argumenten. När man dividerar komplexa tal, dividerar man absolutbeloppen och subtraherar argumenten.

Multiplikation av ett tal z med talet i, innebär att absolutbeloppet är oförändrat och att argumentet ökar med 90° . Division av ett tal z med talet i, innebär att absolutbeloppet är oförändrat och att argumentet minskar med 90° .

Kvadratroten för ett tal (a) större än eller lika med 0 är ett tal som gånger sig självt är lika med (a). Ex: . De flesta rötter är irrationella tal som t ex . Det finns givetvis även rötter som är rationella tal, t ex .

där (n) är ett positivt heltal större än eller lika med 2. För varje positivt värde på (a) har ekvationen en positiv lösning som betecknas . Om (n) = 2 skriver vi i stället för . Vidare gäller att .

Räkneregler (a och b är positiva tal)

(om a är positiv)