Generell modell och
strukturerad kunskap.

OBS. detta är inget forskningsprojekt.

Den är tänkt som en dynamisk planktonmodel i icke-homogent medium (t.ex. havet). Den är kopplad till Navier Stokes generella ström och våg ekvation.
i3
Ai=Koncentrationen av planktonart nr i.
µ är brutto growth rate och en funktion av t.ex. (N,P,T,I,...,ingestion,gifter...). Här definieras det som:
i4c i ett homogent system eller där inga rörelser finns.
I=Ljusintensitet. T=temperatur [Kelvin].
Di är analogt med diffussionsfält och tillåts variera i tid och rum. Di kommer från ("slumpartad") planktonrörelser , där medel hastighet och medelriktning är noll då A=konstant. T.ex. flagellater som simmar utan riktning.

i7c är simhastigehet inkl. sjunkhastighet och riktning. Ex. mot ljuset, uppåt eller från/mot kemiska koncentrations gradienter.
Denna + diffussionsrörelsen+strömningsrörelsen är den totala rörelsen.
Nk=kemikalier, näringsämnen eller gifter i t.ex. enheten [M].
UNk är tillförselfält som inte ingår i strömnings och diffussions termerna, [M/tidsenhet]. (Är liksom övrigt en funktion av rum och tid).
i5
Navier Stokes:
Gäller för vätskor, gaser, viskösa ämnen virvlar och även vågor i fasta material.
lambda (grekiska tecknet) och µv är viskositets koefficienter, (ekvationen kan skrivas om så dessa får variera i tid och rum). P=trycket, rå (grekiska tecknet) är tätheten och T är temperaturen (Kelvin).
i6 är vattnets strömningshastiget i rum och tid och lösningen till ekvationen. Det är alltså vätskans hastighet och riktning i alla positioner och tider, det är ett vektorfält.
i9 är lite ovanlig term, det blir en 3 x 3-operator-matris.
är kraftfält som verkar på vätskan, vanligen gravitationen. Navier Stokes ekvation bygger på accelerationskrafter och viskösa friktionskrafter.
Den ser ut att vara tidlös, mycket generell och inte onödigt krånglig, vilket gör den underbar. (Den gäller kanske inte vid kavitation).
Men SMHI använder inte denna generella form, de gör säkert vissa förenklingar och specialare för att snabba upp dator-beräknarna.
Det är nog endast SMHI som har rejäla resurser att beräkna havsströmmar, i Sverige. Vid mycket enkla strömmnings-experiment kan man göra egna beräkningar.

Kontinuitetsekvationen:

Ökningen per tidsenhet i ett område=(Produktionen -förbrukningen + det som strömmar in i området - det som strömmar ut ur området)/tidsenhet.
(med förbrukning menas konsumtion, förstörelse, förintellse, slitage, omvandling)
Dena gäller alltid för allt materiellt. Den gäller för energi, (temperatur), fotoner eller det som kan mätas i enheter som kg, J, antal. T.ex. individer på en yta eller i en volym, bilar i en fabrik.
Kontinuitetsekvationen är generell, tidlös och enkel.
Härledningen av Ekv 1.: Jag utgick från kontinuitetsekvationen vid härledningen. Jag tror det finns många som formulerat liknande ekvationer. Då man förstår kontinuitetsekvationen, så är det naturligt, nästan självklart, att utgå från den. Man bör kontrollera att sim och strömmnings vektorn är rätt placerad, jag kan ju råkat missa något då jag härledde den,(juli 1989).
Ekv 1. är en kontinuitetsekvation och även en makromodell.
Jag har formulerat planktondynamiken på ett generellt, tidlöst och enkelt sätt i ekv 1., men som vi skall se behövs mer speciella modeller. Exempel:
i10
Med annat beräkningsätt (Hägg) så kommer T upphöjt till 3/2 inte med.
q=Clearance rate eller analogt. Zj=zooplankton grupp j.
Alternativt med mättning:
i11
i12


Dessa undermodeller är inte så generella, halvmättnadskonstanter (funktioner) och q, kan mycket väl bero på I,T mm., men kan vara en vettig ansats tills man vet mer. Ljuset I beror av rum och tid, en enkel modell är att integrera fram hur mycket som absorberas av pigment (cellkoncentrationer) ovanför och beräkna I vid aktuellt djup.

Viktigt: Modeller bör tolkas som medelvärdesmodeller för ett tillståndsområde och konstanterna är egentligen medeleffekten av funktioner.

Även enklare modeller kan fungera bra i snäva tillståndsområden (Ex: där I,T mm. varierar lite, jmf. linearisering kring reglerpunkt, (reglerteknik)).

Vid starkt ljus kanske ljus-funktionen bör ändras. Vanligen räcker det med en enklare Temperatur-funktion.
Gift kanske även kan ingå som konkurrent i en Michael Mentes ekvation. Att µ ofta följer Michael Mentes ekvation kan förklaras med en enkel modell för enzym reaktioner. µ följer enzym-reaktionshastigheten och Michael Mentes ekvation om ämnet är begränsande i en nyckelposition. Om ämnet är begränsande på två ställen i ett reaktionsled, så kan ekvationen bli i kvadratisk. Om det finns parallella reaktionsvägar, så kan man få fler termer.
Användbarhet:
Rent teoretiskt kan Ekv1. användas för att simulera tusentals arter i världshaven, men i praktiken är det omöjligt att göra det vetenskapligt. Det saknas mätvärden för feluppskattning och datorerna klarar det säkert inte på rimlig tid.

Värdet av Ekv1. är att den är en strukturerad kunskap, som man utgår från och härleder enklare problem.


Ex: Jag Simulerade "Häxringar" med ekv1.(14-juli 1989) . Jag skrev den i cylinder koordinater, antog rotationssymetri och fick två enklare 3 dimmensionella kopplade partiella differential ekvationer. Jag utgick från att vattnet var stilla, simmning mot ytan och närsalts diffusion från botten. Resultatet blev att en fläck växtplankton diffunderade och växte i ytterkanterna, men försvann i centrum av näringsbrist, så att det utvecklades en ring. (Man bör få liknande ring med betning).
Perspektivet är att jag använde Ekv 1. för att förklara ett möjligt biologiskt fenomen.
(Tyvärr var en del koefficienter mycket grova uppskattningar).
En mer fullständig modell kräver även ekvationer för närsaltskonsumtion, regeneration och sedimentering. Kanske inte altid så svårt.

Andra modeller:

Jag har aldrig haft tillräkligt med mätvärden för att pröva Ekv1. och har aldrig behövt pröva den.

Jag har däremot använt modeller för analys av betning. På följande sätt.

1) Ställt upp t.ex. system av endimmensionella differentialekvationer.
2) Förenklat dem till en linjär form.
(Ibland genomfört en Ln-polynom-kalkyl, för pålitligare resultat.)
3) Genomfört multipel regression, som gav lätt-tolkade koefficienter (lutningskoefficienter) med konfidensintervall.
Under vissa vilkor kunde koefficenterna tolkas som Clearance rate och ingestion rate. Koefficienterna tolkas mer exakt som den totala ekologiska effekten ett zoplankton har på en annan art, vilket är utmärkt, om modellen skall simuleras.

Detta sätt att använda modeller på är en vetenskaplig analysmetod.
Man formulera hypotesen med ekvationer.
Man verifierar hypotesen. Man får lättbegripliga koefficienter med konfidensintervall. (Modellen kan fungera som bra vetenskaplig analysmetod även om den inte duger till simulering).
Jag var tvungen att göra ekvationerna så enkla som möjligt, därför att det får inte finnas för många obekanta i relation till antalet oberoende tillståndsvektorer.

En del typer av modeller kan även simuleras.
Man kan simulera på oberoende statistik och jämföra med verkligt utfall. Det går att ta fram konfidensband för olika simuleringstider.
Förutsägelse utan feluppskattning är inte vetenskapligt acceptabelt. Feluppskattningar visar om modellen är användbar i ett tillstånds-rum.
Om man t.ex. lyckas att med en modell förutsäga: att en planktonblommning kommer att öka 10 dagar med 80% sannolikhet, så vet man ganska mycket om tillväxt dynamiken.
Det verkar inte omöjligt, men det behövs oftast flera approximationer och att man gruppera arter. Man kan t.ex. försöka hitta en representat för en gruppen dinoflagellater eller definera en medel-dinoflagellat osv.

Andra forskare har försökt beräkna hur mycket människan bör kunna fiska utan att riskera utfiskning. (jmf.hypotesen: utfiskning orsakade Sälinvasionen i nordNorge och att sälar drunknade i fisknät.) I detta fall ser man lätt, ett stort ekonomiskt värde i att kunna beräkna detta med t.ex. en modell.
Samanfattning: Med modeller, typ system av differentialekvationer, kan man formulera, analysera, statistiskt pröva teorier, demonstrera dynamiska processer och göra förutsägelser med feluppskattning. Modeller kan vara ett utmärkt vetenskapligt verktyg, men det ersätter inte andra vetenskapliga metoder.
För vissa vetenskapliga mål, som att ta reda på dynamiska processer i t.ex. ekosystem, så kan vissa dynamiska modeller vara en överlägsen metod. Modeller liksom allt annat kan bli svårt och misslyckat. Planeringen är mycket viktigt.


Christer Nylander
96-09-19
(ekv1. omskriven från juli 1989)

Får kopieras och spridas om källa anges, (www-adress).


1997
Christers home index